Подготовка к ЕГЭЗадачи с параметрами
Как подготовиться к решению задач с параметром на ЕГЭ | 1С:Репетитор
Советы ведущего преподавателя курса 1С:Репетитор
Татьяны Александровны Чернецкой
Задание № 18 варианта КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня
Задача с параметром – для обычного школьника одна из самых сложных задач варианта КИМ ЕГЭ: в программах по математике для общеобразовательных школ (за исключением профильных и специализированных классов, школ и лицеев) таким задачам либо не уделяется должного внимания, либо они не рассматриваются вовсе. Несмотря на это, знание набора методов и подходов к решению таких задач и определенная практика их решения позволяют продвинуться в решении задачи с параметром достаточно далеко и если уж не решить ее полностью, то хотя бы получить за нее некоторое количество баллов на экзамене.
Ранее, до появления единого государственного экзамена, задачи с параметрами входили в варианты вступительных экзаменов по математике в ведущие вузы, а сегодня входят в вариант КИМ ЕГЭ профильного уровня. Дело в том, что эти задачи обладают высокой диагностической ценностью: они позволяют не только определить, насколько хорошо выпускник знает основные разделы школьного курса математики, но и проверить, насколько высок уровень его математического и логического мышления, насколько сильны первоначальные навыки математической исследовательской деятельности, а главное – насколько успешно он сможет овладеть курсом математики в вузе.
«Научите меня решать задачи с параметром», – такую просьбу я часто слышу от своих учеников. Что ж, эта задача потребует от выпускника немало интеллектуальных усилий. С чего начать изучение? С освоения методов решения задач с параметром. Собственно, если вы внимательно читали наши рекомендации, как подготовиться к решению сложных задач варианта КИМ ЕГЭ, то заметили, что это универсальный совет. Именно так построен наш курс «1С:Репетитор»: изучаем как можно более широкий спектр методов и приемов решения задач и тренируемся в применении этих методов на практике.
Чему нужно научиться, решая задачи с параметром
В первую очередь – правильно применять равносильные преобразования уравнений, неравенств и их систем. То есть понять, при каких ограничениях, накладываемых на параметр, можно выполнять то или иное преобразование. Лучше всего начать с заданий вида: «Для каждого значения параметра решить…» и рассмотреть по возможности все основные элементарные функции, встречающиеся в школьном курсе математики.
Если с несложными задачами такого вида школьник справляется неплохо, то можно переходить к изучению аналитических методов решения задач, содержательно усложняя и классифицируя задачи с точки зрения применения к ним этих методов исследования. Имеется в виду знакомство с подходами к решению задач, содержащих формулировки типа: «При каких значениях параметра уравнение (неравенство, система) имеет одно (два, три, бесконечно много и т.д.) решений», «При каких значениях параметра решением уравнения (неравенства, системы) является некоторое подмножество множества действительных чисел» и т.д.
Следующий шаг, который мы рекомендуем, – тщательно изучить схему исследования квадратичной функции. Поскольку квадратичная функция является одной из самых хорошо изученных в школьном курсе математики, на ее основе можно предложить большое количество исследовательских задач, разнообразных по форме и содержанию, чем и пользуются составители вариантов КИМ ЕГЭ.
Мы рекомендуем подойти к рассмотрению данных задач по следующей схеме:
Следующая тема курса – графические методы решения задач с параметром
Существует два принципиально различных подхода – построение графиков функций или уравнений в плоскости (x; y) или в плоскости (x; a) . Кроме того, для графического метода решения задач с параметром в плоскости (x; y) необходимо рассмотреть различные виды преобразования графиков – обычно это параллельный перенос, поворот прямой и гомотетия. Есть класс задач, решение которых основано на аналитических свойствах функций (области определения, области значений, четности, периодичности и т.д.), эти свойства и приемы их использования тоже нужно знать.
На этом перечень методов решения задач с параметрами, разумеется, не заканчивается, но анализ вариантов КИМ ЕГЭ профильного уровня и практика показывают, что в настоящее время этого достаточно для успешного решения задачи № 18 на экзамене.
В заключение отметим, что выстроить подобный курс самостоятельно, без преподавателя, обычный школьник не сможет, даже имея под рукой хорошие учебные пособия по методам решения задач с параметром. Здесь необходима помощь опытного наставника, который сможет подобрать нужные задачи и выстроить траекторию движения школьника по ним.
Заметим, кстати, что весьма эффективным инструментом для изучения именно методов решения задач с параметром являются интерактивные тренажеры с пошаговым разбором решения.
Работая с таким тренажером, школьник одновременно учится выстраивать логику решения задачи с параметром и контролирует правильность выполнения каждого шага решения. Это очень важное умение, так как одна из основных сложностей в решении задачи с параметром состоит в том, что необходимо на каждом шаге решения понимать, что означают уже полученные результаты и что (в зависимости от этих результатов) еще остается сделать, чтобы довести решение до конца.
Регулярно тренируйтесь в решении задач
Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно Зарегистрироваться.
Вы можете:
- Начать заниматься бесплатно.
- Купить доступ к этой задаче в составе экспресс-курса «Алгебра» и научиться решать задачи №13, №15, №17, №18 и №19 на максимальный балл.
Все курсы состоят из методически правильной последовательности теории и практики, необходимой для успешного решения задач. Включают теорию в форме текстов, слайдов и видео, задачи с решениями, интерактивные тренажеры, модели, и тесты.
Остались вопросы? Позвоните нам по телефону 8 800 551-50-78 или напишите в онлайн-чат.
Задача 18: уравнения и неравенства с параметром
Существует ровно три генеральных метода решения задач 18:
- Метод перебора — классический перебор вариантов. Например, когда выражение под модулем больше нуля и когда меньше;
- Графический метод — привлечение чертежа. Во многих задачах 18 достаточно начертить графики функций — и решение становится очевидным;
- Метод следствий — нестандартный и, как правило, самый изощренный. Если в исходном условии удастся подметить что-нибудь полезное, в дальнейшем можно значительно упростить решение всей задачи.
Конечно, одну и ту же задачу зачастую можно решить разными способами. Но далеко не все они оптимальны: выбрав неправильный «путь», можно увязнуть в вычислениях, так и не дойдя до ответа.
Поэтому в данном разделе я рассмотрю все способы, а ваша задача — практиковаться и учиться правильно выбирать.:)
Глава 1. Графический подход § 1. Вебинар по задачам 18: модуль и окружности 
§ 2. Как решать задачу 18: графический подход § 3. Задача 18: две окружности и модуль 
§ 4. Задача 18: пересечение графиков окружности и модуля § 5. Новая задача 18 из пробного ЕГЭ — наглядный пример того, как эффективно работает графическое решение задач с параметром. Глава 2. Аналитический подход § 1. Задачи 18: Аналитическое решение § 2. Окружность и модуль: задачи 18 с двумя параметрами 
§ 3. Аналитическое решение задачи 18 с перебором различных вариантов Глава 3. Нестандартные приемы § 1. Задача 18: метод симметричных корней § 2. Как увидеть симметрию корней в задаче 18? § 3. Метод мажорант в задаче 18 § 4. Графическое решение сложных задач 18 с модулем § 5. Задание 18: Симметрия корней в системе уравнений § 6. Анализ знаков квадратного трёхчлена в сложных задачах 18 § 7. Применение производной для отыскания точек пересечения графиков § 8. Продвинутый метод симметричных корней § 9. Новая задача 18 с графическим решением
Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ. Высоцкий В.С.
Книга посвящена решению задач с параметрами, которые для многих школьников традиционно являются задачами повышенной трудности. Задачи классифицированы как по типам, так и по методам решений, начиная от простейших задач до трудных, встречающихся на олимпиадах, ЕГЭ и вступительных экзаменах в МГУ.
Для учащихся 8-11 классов, учителей школ, гимназий, лицеев, слушателей подготовительных курсов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 5
ГЛАВА 1 ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ 7
§ 1. Что такое параметр 7
§ 2. Различные формулировки задач с параметрами 8
Задачи для самостоятельного решения 10
ГЛАВА 2 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 13
§ 1. Линейные уравнения 13
§ 2. Линейные неравенства 18
Задачи для самостоятельного решения 22
ГЛАВА 3 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 25
Задачи для самостоятельного решения 50
ГЛАВА 4 КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 53
Задачи для самостоятельного решения 72
ГЛАВА 5 ЗАДАЧИ, СВОДЯЩИЕСЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА 75
§ 1. Уравнения и неравенства 75
§ 2. Дополнительный материал по алгебре 91
§ 3. Продолжение исследования уравнений и неравенств 96
Задачи для самостоятельного решения 102
ГЛАВА 6 ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ. МЕТОД СЕЧЕНИЙ 107
§ 1. Угол наклона прямой 107
§ 2. Уравнение прямой 108
§ 3. Геометрический смысл параметров прямой 108
§ 4. Графики линейных функций 108
§ 5. Вспомогательные задачи 111
§ 6. Параллельность и перпендикулярность прямых 113
§ 7. Графическое решение уравнений и неравенств 117
§ 8. Сечение семейством прямых у-а 119
§ 9. Сечение семейством прямых у = х + а 123
§ 10. Сечение семейством прямых у-ах 129
§ 11. Касание параболы и прямой 133
Задачи для самостоятельного решения 152
ГЛАВА 7 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 155
§ 1. Вводные замечания 155
§ 2. Исследование линейных систем методом подстановки 157
§ 3. Соотношения между коэффициентами системы в зависимости от числа решений 172
§ 4. Геометрическая интерпретация решений 175
Задачи для самостоятельного решения 176
ГЛАВА 8 СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 179
§ 1. Методы решения 179
Задачи для самостоятельного решения 190
§ 2. Аналитические методы исследования нелинейных систем с параметрами 191
Задачи для самостоятельного решения 206
§ 3. Графические методы исследования нелинейных систем с параметрами 208
Задачи для самостоятельного решения 232
ГЛАВА 9 ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ НА ЕДИНОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ ЭКЗАМЕНЕ 235
Задачи для самостоятельного решения 271
ОТВЕТЫ 275
Глава 1 275
Глава 2 275
Глава 3 277
Глава 4 279
Глава 5 283
Глава 6 288
Глава 7 296
Глава 8 298
Глава 9 306
ЛИТЕРАТУРА 313
О том, как читать книги в форматах pdf , djvu — см. раздел » Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др. «
Книги, посвященные задачам с параметрами
Данная тема выделена в самостоятельный раздел из раздела Литература по математике для поступающих в вузы(часть I) с целью разгрузить последний и упорядочить информацию в нем. Новые позиции отмечены голубым знаком NEW.
Амелькин В. В., Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами: Справ. пособие по математике.Мн.: ООО «Асар», 2004. — 464 с.; ил.; 3-е изд. доработ. ISBN 985-6711-03-7.
Пособие содержит 727 задач с параметрами и предназначено для углубленного изучения математики в средней школе и для подготовки к конкурсным экзаменам в ВУЗы.
Скачать (divu/rar, 600 dpi, 2,32 Мб)ifolder.ru || mediafire.com
Голубев В.И. Решение сложных и нестандартных задач по математике.— 2007. — 252 с: ил.
Пособие посвящено методам решения задач повышенной сложности по алгебре и началам анализа. Основная часть задач, рассмотренных в книге, взята из вариантов вступительных экзаменов на различные факультеты вузов, предъявляющих высокие требования к знаниям по математике (МГУ, МИРЭА, МФТИ и др.). Основной акцент в этой книге сделан на изложение малоизвестных эффективных технологий решения нестандартных задач, таких, например, как метод трех точек, метод замены множителей, метод минимакса, информация по которым впервые представлена не в периодической печати. Описаны малоизвестные технические приемы, используемые при решении задач для обеспечения высокого темпа продвижения к ответу. Очень много задач с параметром. Главная цель книги состоит в снятии комплекса страха у абитуриентов и учителей при попытках овладения идеями и методами решения нестандартных задач.
Материал книги составляет часть многочисленных лекций автора для школьников и преподавателей в различных регионах страны.
Пособие рассчитано на учителей и учащихся общеобразовательных школ, студентов педагогических вузов, абитуриентов.
Книга предоставлена Robot
Скачать (divu/rar, 600 dpi, 2,73 Мб) Рапида || http://ifolder.ru || mediafire.com
Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. — К.: РИА «Текст»; МП «ОКО», 1992. -290 с.
В книге рассматриваются аналитические, функциональные и графические методы решения задач с параметрами на примере более 700 задач, большинство из которых предлагалось на вступительных экзаменах в ведущие вузы. Материал пособия помимо деления на главы и параграфы разбит на пункты, посвященные определенным типам задач или приемам их решения. Часть задач разбирается очень подробно, при этом демонстрируется подчас несколько методов решения. Ко всем упражнениям приведены ответы.
Для преподавателей математики, студентов педагогических вузов, слушателей подготовительных отделений, абитуриентов, старшеклассников.
Книга предоставлена Robot
Скачать (divu/rar, 600 dpi, 4,34 Мб) Рапида || ifolder.ru || mediafire.com
Дорофеев Г.В. Квадратный трехчлен в задачах. — Львов, журнал Квантор, 1991, № 2. — 104 с.
Содержание: Азбука квадратного трехчлена. Квадратный трехчлен в неявном виде. Коэффициенты, корни и значення квадратного трехчлена. «Запрещенные» корни квадратного трехчлена. Отбор корней квадратного трехчлена на луче. Отбор корней квадратного трехчлена на конечном промежутке. Ответы, указания и решения.
Скачать (divu/rar, 600 dpi+ocr, 1.07 Мб) mediafire || ifolder.ru
Ефимов Е.А., Коломиец Л.В. Задачи с параметрами. Учебное пособие для факультета довузовской подготовки СГАУ. — Самара, 2006. — 64с.
Учебное пособие предназначено для занятий со слушателями подготовительных курсов факультета довузовской подготовки СГАУ и самостоятельной работы абитуриентов.
В учебное пособие включены все основные типы задач с параметрами, предлагаемых на вступительных экзаменах по математике в СГАУ, на централизованном тестировании и Едином государственном экзамене. Ко всем задачам приведены решения или ответы.
Скачать (340 кб) ifolder.ru || mediafire.com
Козко А.И., Чирский В.Г. Задачи с параметром и другие сложные задачи. — М., МЦНМО, 2007. — 296с.
Книга посвящена решению задач с параметрами. Помимо стандартных сведений в ней приведены оригинальные методы и приемы решения различных сложных задач. Кроме того, в книге рассмотрены задачи, связанные с методом математической индукции, и задачи по стереометрии. Большинство разбираемых авторами задач взято из вариантов вступительных экзаменов в МГУ.
Во второй части книги приведены варианты вступительных экзаменов 2003-2006 гг.
Для учащихся старших классов, преподавателей математики и абитуриентов.
Скачать 1,50 Мб ifolder.ru ||mediafire.com
Козко А. И., Панферов В. С, Сергеев И. Н., Чирский В. Г. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С5. Задачи с параметром / Под ред. А. Л. Семенова и И. В.Ященко. — М.: МЦНМО, 2011.-144 с. ISBN 978-5-94057-667-9
Скачать (1.00 Мб, djvu/rar,600dpi+OCR) ifolder.ru || mediafire.com>
Корянов А.Г. Математика ЕГЭ 2010. Задания С5. — 71 с.
Сборник задач с ответами, указаниями и решениями. Представлены аналитические и функционально-графические методы
Скачать (pdf, 1,3 mb) сайт Ларина А.А.
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011(типовые задания С5) Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
Скачать пособие
