Решение логарифмических неравенств методом интервалов

Журнал Педагог

Автор: Смирнова Наталья Александровна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МБОУ » Гимназия №127″
Населённый пункт: город Снежинск
Наименование материала: Методическая разработка
Тема: » Обобщенный метод интервалов при решении логарифмических неравенств»
Дата публикации: 05.09.2016
Раздел: полное образование

Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127»
Тема: Обобщенный метод интервалов при решении

логарифмических неравенств .
В курсе математического анализа формулируется теорема: Теорема: Если   x f непрерывна на отрезке   b a; и не обращается в 0 на открытом промежутке   b a; , то   x f имеет один и тот же знак во всех внутренних точках отрезка   b a; . Это и есть основание для метода интервалов для непрерывной функции: найти нули   x f и определить знаки   x f на промежутках между соседними нулями, вычислив значения в «пробных» точках. Однако иногда «пробную» точку выбрать трудно, иногда при выяснении знака функции в «пробной» точке вычисления могут оказаться громоздкими, и из-за арифметической ошибки результат окажется неверным. Рассмотрим условия равносильности, которые часто
за один шаг

сведут
решение самых распространенных логарифмических неравенств
к решению

рациональных неравенств.
I. Для логарифмических неравенств с заданным основанием а ( где а – положительное , отличное от 1 число) можно записать полное условие равносильности, включающее ОДЗ: логарифмические неравенства вида:   0 log  x f a                0 1 1 0 x f a x f   0 log  x f a                0 1 1 0 x f a x f Условия равносильности верны и для нестрого неравенства. логарифмические неравенства вида:   0 log  x f a                0 1 1 0 x f a x f   0 log  x f a                0 1 1 0 x f a x f
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127» Преимущество использования условий равносильности по сравнению с обычным способом решения даже таких простейших неравенств состоит в том, что мы не думаем о том, большим или меньшим единицы является основание. Это особенно важно при решении задач ЕГЭ, когда время для их решения ограничено.
Правило 1:

Знак
  x f a log
совпадает со знаком произведения
      1 1   x f a
в ОДЗ.
логарифмические неравенства вида:     x g x f a a log log                        0 1 0 0 x g x f a x g x f     x g x f a a log log                        0 1 0 0 x g x f a x g x f Условия равносильности верны и для нестрого неравенства. логарифмические неравенства вида:     x g x f a a log log                        0 1 0 0 x g x f a x g x f     x g x f a a log log                        0 1 0 0 x g x f a x g x f
Правило 2:
Знак разности     x g x f a a log log  совпадает со знаком произведения         x g x f a   1 в ОДЗ.
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127» Правило 2 дает возможность просто справиться с неравенствами, решение которых обычным способом потребует гораздо больше вычислений. Например, можно очень просто решить неравенство вида         0 0 log log    x h x g x f a a По правилу 2, получаем, что           0 1    x h x g x f a
№1.
0 16 7 2 log 5 4 log 2 7 3                 x x x ОДЗ:                ; 4 7 4 1 ; 5 4     0 1 16 7 2 1 7 1 5 4 1 3 2                     x x x 0 4 9 4 1 5 1                  х х х , с учетом ОДЗ
Ответ:
                      4 9 ; 4 7 4 1 ; 5 1 4 1 ; 5 4
№2.
  1 1 1 3 log 3    x x ОДЗ: ) ; 0 (    0 1 3 log 1 3 log 1 3 3      x x x 0 1 3 1 3 1      x x x 0 1 2 3 3    x x 0 1 2 3 log 3    x x
Ответ:
          ; 1 2 3 log ; 0 3
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127»
№3
.   1 1 log 3 log 3 1 3 1    x x       0 1 log 1 log 3 log 2 1 3 3 3        x x x ОДЗ: ) ; 1 (         0 1 log 1 log 2 3 log 3 3 3       x x x 0 ) 1 1 )( 1 3 ( ) 3 1 2 )( 1 3 ( 2          x x x x 0 ) 1 )( 2 (    x x x , с учетом ОДЗ
Ответ:
       ; 1 0 ; 1
№4.
Найдите сумму длин промежутков, являющихся решениями неравенства             0 16 lg 2 lg 5 1 2 3 2 2 2       x x x x x Задача интересна тем, что без применения правил решение будет очень громоздким. ОДЗ:     4 ; 0 0 ; 4               0 16 lg 2 lg 5 1 2 3 2 2 2       x x x x x         0 16 2 5 5 3 2 2          x x x x x x , с учетом ОДЗ:     4 ; 3 3 4 ; 5 0 ; 5 3 4 ; 4                    x Сумма длин промежутков равна 5 3 4 5 3 4 5 0 4 3 4         
Ответ:
5. II. Логарифмы с переменным основанием. логарифмические неравенства вида:     0 log  x f x a                       0 1 1 0 0 x f x a x a x f
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127»     0 log  x f x a                       0 1 1 0 0 x f x a x a x f Для нестрого неравенства условие выглядит так: логарифмические неравенства вида:     0 log  x f x a                            0 1 1 1 0 0 x f x a x a x a x f     0 log  x f x a                            0 1 1 1 0 0 x f x a x a x a x f
Правило 3:
Знак функции     x f x a log совпадает со знаком произведения         1 1   x f x a в ОДЗ. По определению,               x a x g x f x g x f x a x a lg lg lg log log    и, в силу правил 1 , 2 справедливо логарифмические неравенства вида:         x g x f x a x a log log                               0 1 0 0 0 x g x f x a x a x g x f         x g x f x a x a log log                               0 1 0 0 0 x g x f x a x a x g x f При решении нестрого неравенства условия равносильности примут вид
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127» логарифмические неравенства вида:         x g x f x a x a log log                                    0 1 1 0 0 0 x g x f x a x a x a x g x f         x g x f x a x a log log                                    0 1 1 0 0 0 x g x f x a x a x a x g x f
Правило 4:
Знак разности         x g x f x a x a log log  совпадает со знаком произведения           x g x f x a   1 в ОДЗ. Преимущество и красота приведенных условий равносильности состоит в том, что мы за один шаг освободились от логарифмов и переменных оснований, и теперь, если основание логарифма и подлогарифмическое выражение являются рациональными функциями, можно воспользоваться классическим методом интервалов. Заметим, что условия раносильности формально точно такие же, как и для логарифмов с постоянным основанием, а потому легко запоминаются. Именно это и дает основание называть частное     x а x f lg lg просто     x f x a log . Но как показывает практика, полными услвиями равносильности не всегда удобно пользоваться. Это происходит, если входящие в условия равносильности неравенства громоздки. Тогда удобно отделить нахождение ОДЗ от решения основного неравенства.
№5.
1 3 log 4 log 1 4 log 9 9     x x x ОДЗ: ) ; 1 ( ) 1 ; 0 (   1 log 2 log 1 4 log 9 9 9     x x x 0 log ) log 1 ( 2 log 3 log 2 9 9 9 9 2      x x x x 0 log ) log 1 ( ) 2 1 (log ) 2 (log 2 9 9 9 9        x x x x
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127» 0 ) 1 log (log ) 9 1 log (log ) 3 log (log ) 81 1 log (log 9 9 9 9 9 9 9 9        x x x x             0 9 1 1 9 1 1 9 3 1 9 81 1 1 9                      x x x x      0 9 1 1 3 81 1                  x x x x , с учетом ОДЗ
Ответ:
  3 ; 1 9 1 ; 81 1       
№6.
      1 1 3 3 3 3 3 3 3 5 log 3 5 log 9 25 log           x x x x x x x x x                        0 3 5 3 5 1 3 3 0 3 5 0 3 3 1 1 x x x x x x x x                          0 3 3 4 5 5 4 1 3 3 0 1 x x x x x                                          0 3 5 3 5 2 3 4 3 0 1 0 1 x x x x x                              0 1 3 2 3 4 0 1 x x x x x
Ответ:
             3 4 ; 1 3 2 ; 0
№7
. Найти значения параметра а, при которых область определения функции     1 log 2 log      ax a x у a a не пуста. Укажите эту область определения.     0 1 log 2 log      ax a x a a                            0 1 2 1 0 1 0 2 1 0 ax a x a ax a x a a
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127»                            0 ) 3 ( ) 1 ( 1 0 1 2 2 1 0 a a x a ax a x a a                            0 1 3 1 2 1 0 2 a a x a a x a a ax+1 > 0 при условии, что х > 2, a > 0                 a a х a x a a 1 3 2 1 0 Если а > 1, то условия х > 2 и а а х    1 3 противоречивы. Если 0

Читать еще: Сочетание цветов в интерьере

Решение логарифмических неравенств методом интервалов

Рассмотрим стандартные логарифмические неравенства, содержащие переменную в основании логарифма.

Способы решения этих неравенств:

рассматривают два случая: основание больше единицы и основание положительно и меньше единицы и решают совокупность двух систем;
используют обобщенный метод интервалов, заключающийся в приведении неравенства к виду $$ h(x) = log _ fleft( x right) vee 0 $$ (где символом обозначен один из знаков $$ ,quad le ,quad ge $$), разбиении D(h) нулями h(x) на несколько интервалов и определении знака h(x) на каждом интервале по ее знаку в одной из точек соответствующего интервала.
используют метод, основанный на замене функций. Напомним, что если область определения, нули и промежутки знакопостоянства функции h(x) соответственно совпадают с областью определения, нулями и промежутками знакопостоянства функции g(x), то неравенства p(x)h(x) $$ vee$$ 0 и p(x)g(x) $$ vee$$ 0 равносильны.

1. Неравенство вида $$ log _ fleft( x right) vee 0 $$

Решение: Решением неравенства $$ log _ fleft( x right) vee 0 $$ будет решение равносильной системы $$ left< begin left( right)left( right) > 0; \ fleft( x right) > 0; \ gleft( x right) > 0; \ gleft( x right) ne 1. \ end right. $$

2. Неравенство вида $$ log _ f(x) vee b $$

Решение: Решением неравенства $$ log _ f(x) vee b $$ будет решение равносильной системы $$ left< begin left( right)left( right) vee 0 \ f(x) > 0; \ g(x) > 0; \ g(x) ne 1. \ end right. $$

3. Неравенство вида $$ log_ f(x) vee log _ g(x) $$

Решение: Решением неравенства $$ log_ f(x) vee log _ g(x) $$ будет решение равносильной системы $$ left< begin left( right)left( right) vee 0 \ f(x) > 0; \ g(x) > 0; \ h(x) > 0; \ h(x) ne 1. \ end right. $$

4. Неравенство вида $$ log _ h(x) vee log _ h(x)$$

Решение: Решением неравенства $$ log _ h(x) vee log _ h(x)$$ будет решение равносильной системы $$ left< begin left( right)left( right)left( right)left( right) vee 0 \ f(x) > 0; \ g(x) > 0; \ h(x) > 0; \ g(x) ne 1; \ f(x) ne 1. \ end right.$$

5. Неравенство вида $$ log _ fleft( x right) cdot log _ gleft( x right) 0; \ varphi left( x right) > 0; \ varphi left( x right) ne 1; \ gleft( x right) > 0; \ hleft( x right) > 0; \ hleft( x right) ne 1. \ end right.$$

Как решать С3. Урок 5. ЕГЭ по математике 2014. Логарифмические неравенства с переменным основанием

Решение логарифмических неравенств с переменным основанием. Рационализация неравенств с объяснением и примерами

Решение простейших логарифмических неравенств и неравенств, где основание логарифма фиксировано, мы рассматривали в прошлом уроке.

А что делать, если в основании логарифма стоит переменная?

Тогда нам на помощь придет рационализация неравенств. Чтобы понять, как это работает, давайте рассмотрим, например, неравенство:

Как положено, начнем с ОДЗ.

Решение неравенства

Давайте рассуждать, как если бы мы решали неравенство с фиксированным основанием. Если основание больше единицы, избавляемся от логарифмов, и знак неравенства не меняется, если меньше единицы — меняется.

Запишем это в виде системы:

Это неравенство так же как и исходная система верно, если оба множителя либо положительны, либо отрицательны. Получается можно от логарифмического неравенства перейти к рациональному (учтя при этом ОДЗ).

Сформулируем метод рационализации логарифмических неравенств $$log_ g(x) vee log_ h(x) Leftrightarrow (f(x) — 1)(g(x)-h(x)) vee 0,$$ где `vee` — это любой знак неравенства. (Для знака `>` мы только что проверили справедливость формулы. Для остальных предлагаю проверить самостоятельно — так запомнится лучше).

Вернемся к решению нашего неравенства. Разложив на скобки (чтобы было лучше видно нули функции), получим

Метод интервалов даст следующую картину:

(Поскольку неравенство строгое и концы интервалов нас не интересуют, они не закрашены.) Как видно, полученные интервалы удовлетворяют ОДЗ. Получили ответ: `(0,frac<1><2>) cup (1,∞)`.

Пример второй. Решение логарифмического неравенства с переменным основанием

Решение неравенства

По только что полученному нами правилу рационализации логарифмических неравенств, получим, что данное неравенство тождественно (с учетом ОДЗ) следующему:

Совместив это решение с ОДЗ, получим ответ: `(1,2)`.

Третий пример. Логарифм от дроби

Дробь нам добавила чуть больше сложности в нахождении ОДЗ и не более того. `-1` нужно представить как логарифм с основанием `x`.

Поскольку система относительно сложная, давайте сразу нанесем решение неравенств на числовую ось:

Таки образом, ОДЗ: `(0,1)cup left(1,frac<6><5>right)`.

Решение неравенства

Представим `-1` в виде логарифма с основанием `x`.

С помощью рационализации логарифмического неравенства получим рациональное неравенство:

Совместив решение с ОДЗ, получим ответ: `left[frac<1><2>,1right)`.

Четвертый пример. Решение логарифмического неравенства

Решение неравенства

Совместив с ОДЗ, получим ответ: `(-2,-1)cup(-1,0)cup (0,1)cup (2,∞)`.

Задания для тренировки

На этом все. Все вопросы в комментарии, и обязательно оставляйте лайки, чтобы ресурс развивался и дальше!

Решение логарифмических неравенств методом интервалов

Frank Iero And The Future Violents Medicine Square Garden Official Music Video

CRAVITY 크래비티 BREAK ALL THE RULES MV

Lil Skies Fidget Official Music Video

Камин feat JONY

BLACKPINK Kill This Love Live at Coachella 2019

Heilung Norupo Official Music Video

Gorillaz Aries ft Peter Hook Georgia Episode Three

Drake Toosie Slide

Скоро на сайте.

IC3PEAK — До Cвидания

Lady Gaga — Chromatica

ROCKET — Supreme Swings

Diplo — Diplo Presents Thomas Wesley, Chapter 1: Snake Oil

Весна Весна — Когда рядом огни

LOTTU G — GOLDENLOTUS

OneRepublic — Human (Deluxe)

Kelly Lee Owens — Inner Song

The Other — Haunted

Vader — Solitude in Madness

Witchcraft — Black Metal

Paul van Dyk — Guiding Light

The Killers — Imploding the Mirage

HAIM — Women In Music Pt. III

Asking Alexandria — Like a House On Fire

Moby — All Visible Objects

The 1975 — Notes On a Conditional Form

Jessie Ware — What’s Your Pleasure?

Trivium — What the Dead Men Say

Alicia Keys — ALICIA

Lamb of God — Lamb of God

KALEO — Surface Sounds

Сейчас скачивают

Прилучный Распустил Руки В Отношениях С Артисткой Рязановой Новости Шоу Бизнеса Сегодня

Nba 2K16 Mycareer 2 Больше Не Школота

Nba 2K20 Con Tanto Di Clip Bonus Alla Fine

Envy Vs Protectors Of The Endless 25 Normal Elite Mode Resto Shaman Pov

Sword Of Justice 1 African Movies 2017 Nigerian Movies 2017 2017 African Movies

You A Cowgirl Vibez Dababy Tik Tok Dance Compilation

Jugando Leadder En Artic Gunz

Султан Садыралиевдин Жандуу Концертинен Репортаж

How To Find The M2 50 Cal Browning Lmg A Fallout 76 Weapon Location Guide

Wargames Cheat Hack Afk Any Level Fortnite Save The World

Esmerilhando O Onix Turbo Da Minha Tia No Racha Gta 5 Mods

Кавказкая Пленница Клип Это Же Вам Не Лезгинка А Твист Школа Танцев Такса 1 Руб

Dj Slavbass Psychobass

Doc Tommy Lynn Sells Serial Killer Research Documentary

Caucasia 2018 2019 Visita A La Ganaderia El Raicer

Оставайтесь Дома И Я Поняла Что Вы Ничего Не Поняли

Fortnite Daily Shop 23Rd May 2018

Вот Как Нужно Готовить Ужин Для Всей Семьи Готовьте Сразу Две Порции Будут Просить Еще

Игра Sentence 6 Прохождение С Мини Играми

Терем Квартет Попурри На Темы Мелодий Из Кинофильмов

Павел Глоба Сатурн В Водолее Или Набат Системного Кризиса

Aoyi Mech Bmb Ls 19 Speeding Sisters Transformers Rotf Arcee Chromia And Elita 1 Review

Scratch Clones And Local Variables Tutorial

Jellena Ft Tis Osmehom Mi Reci Zbogom Audio 2014

Shilpa Shetty S Adorable First Video With Baby Girl Samisha Goes Viral In Lockdown

Реферальная Программа 2 0 Финал 130420

Nature Of Challenge Part 4 4 Sub Ita

Rambla De Montevideo Uruguay

High Draft For Bricks Kiln 97800 20169 High Quality Id Fan With Long Life

Nightcore Heart Shaped Box Nirvana Feat Divmond Cafe Disko Cover

Гопники Купили Дом На Рублевке Реальные Пацаны Radmir Rp Crmp 64

Tag Пряжа Российского Производства Болталочка

World Of Warcraft Quest Guide The Wrath Of A Dragonflight Id 27829

Стакан Воды Эжен Скриб Радиоспектакль Слушать Онлайн

Играю В Китайский Standoff 2

Ура Баг На Леона Сработал Как Выбить Легу В Brawl Stars Промокод На Леона Сработал Бравл Старс

Токарный Иж 1И611П 1 1 Ис 95 Тс Ч 2

Серго Это Моя Тачка

Озвучка Манги Генерал Умоляю Вас Дебютируйте Главы 1 60 Конец

Urmas Sisask Benedictio Op 31

Filhotes De Basset Dachshund

Кукутики Самый Большой Сборник Развивающие Песни Мультфильмы Для Детей Малышей

Madonna Em Lisboa Sst 00 Waiting For Madonna

Запомните Раз И Навсегда Первую Обработку От Вредителей Плодовых Нужно Делать В Эти Сроки

Решение логарифмических неравенств методом интервалов

Журнал Педагог

Решение логарифмических неравенств методом интервалов

Как решать С3. Урок 5. ЕГЭ по математике 2014. Логарифмические неравенства с переменным основанием

Решение логарифмических неравенств с переменным основанием. Рационализация неравенств с объяснением и примерами

Решение неравенства

Пример второй. Решение логарифмического неравенства с переменным основанием

Решение неравенства

Третий пример. Логарифм от дроби

Решение неравенства

Четвертый пример. Решение логарифмического неравенства

Решение неравенства

Задания для тренировки

Решение логарифмических неравенств методом интервалов

Популярная музыка

Скоро на сайте.

Сейчас скачивают